Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se marcan $10000$ puntos sobre una circunferencia y se numeran del $1$ al $10000$ en el sentido de las manecillas del reloj. Se trazan $5000$ segmentos de recta de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:

• Cada segmento une dos de los puntos marcados.
• Cada punto marcado pertenece a uno y solo uno de los segmentos.
• Cada segmento corta exactamente a uno de los segmentos restantes.

A cada segmento se le asocia el producto de los números asignados a sus dos puntos extremos. Sea $S$ la suma de los productos asociados a todos los segmentos. Demostrar que $S$ es múltiplo de $4$.