Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1386
OMCC, 2004-P1
En una pizarra se escriben los números enteros del $1$ al $9$. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos, siendo $A$ el primero en jugar. Cada jugador en su turno escoge uno de los números que quedan en la pizarra y lo borra, junto con todos sus múltiplos (si los hay). El jugador que borra el último número pierde. Determinar si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y explicar cuál es esa estrategia.
pistasolución 1info
Pista. La estrategia es de A y sólo tiene una forma de empezar para evitar que le gane B.
Solución. La estrategia ganadora la tiene el jugador A. Para ello, comienza eligiendo el $4$ y, por lo tanto, borrando $4$ y $8$. Los números que quedan son \[1\quad 2\quad 3\quad 5\quad 6\quad 7\quad 9\] Ahora distinguimos casos según el siguiente movimiento de B:
  • Si B elige el $1$, elimina todos y pierde automáticamente.
  • Si B elige el $2$, quedan $13579$. Entonces, A elige el $3$ y quedan $157$. B tiene que elegir $5$ o $7$ y A contesta eligiendo el $7$ o $5$, respectivamente, para dejar finalmente a B el $1$.
  • Si B elige el $3$, quedan $1257$. Entonces, A elige el $2$ y quedan $157$, luego A también gana (igual que en el caso previo).
  • Si B elige el $5$, quedan $123679$. Entonces, A elige el $3$ y quedan $127$, luego A también gana (igual que en el caso previo).
  • Si B elige el $6$, quedan $123579$. Entonces A elige el $9$ y quedan $12357$. Ahora tienen que elegir alternadamente de uno en uno dejando el $1$ para el final, luego también gana A.
  • Si B elige el $7$, quedan $123569$. Entonces A elige $3$ y quedan $125$, luego A gana también en este caso.
  • Si B elige el $9$, entonces A elige el $6$, dejando $12357$, que es similar a un caso anterior y también gana A.

Nota. No es difícil ver que si A no elige en primer lugar el $4$, entonces B tiene una estrategia ganadora.

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