Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Con perlas de diversos colores se forman collares. Se dice que un collar es primo si no puede descomponerse en cadenas de perlas de la misma longitud e iguales entre sí. Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Demostrar que el número de collares primos con $n$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de $q^n$ colores posibles, es igual a $n$ veces el número de collares primos con $n^2$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de $q$ colores posibles.

Nota: Dos collares se consideran iguales si tienen el mismo número de perlas y se puede obtener la misma coloración en ambos collares, rotando uno de ellos hasta hacerlo coincidir con el otro.