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Problema 1392
OMCC, 2005-P1
Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos que pueden expresarse como suma de $2005$ enteros consecutivos, no necesariamente positivos. ¿Cuál ocupa la posición $2005$?
pistasolución 1info
Pista. Escribe los 2005 números como $n-1002,n-1001,\ldots,n+1002$ para cierto entero $n$, lo que facilita mucho calcular su suma explícitamente.
Solución. Pongamos que los $2005$ enteros consecutivos son
\[n-1002,n-1001,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots,n+1002.\]
Al sumarlos todos queda $2005n$ ya que se cancelan sumandos por parejas (el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente) de forma que la suma equivale a sumar $2005$ veces el número central $n$. Vemos así que los números que se expresan de esta forma son los múltiplos de $2005$. El que ocupa la posición $2005$ de entre los positivos es claramente $2005\cdot 2005=2005^2$.
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