Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son \[z=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}.\] El radicando es negativo precisamente cuando $-2\lt a\lt 2$, lo que nos da la respuesta al apartado (a). Para responder al apartado (b), escribimos $z=x+iy$, siendo \[x=\frac{-a}{2},\qquad y=\pm\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}=\pm\sqrt{1-x^2}.\] Deducimos entonces que $x^2+y^2=1$, es decir, los puntos del lugar geométrico están contenidos en la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $1$. Como $x=\frac{-a}{2}$ se mueve en el intervalo $(-1,1)$ y para cada valor de $x$ hay dos valores de $y$ opuestos, deducimos que el lugar geométrico son todos los puntos de esta circunferencia excepto $(1,0)$ y $(-1,0)$. Notemos que estos puntos no podían estar a priori ya que representan números reales.