Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como la derivada es cero para $0\leq x\lt 60000$ y $f(0)=0$, se deduce que $f(x)=0$ para $0\leq x\leq 60000$. En el intervalo $60000\lt x\lt P$, la derivada es constante $1$, luego la función es de la forma $f(x)=x+a$ para cierto número real $a$. Imponiendo por continuidad que $f(60000)=0$, llegamos a que $a=-60000$. Finalmente, como $f'(x)=0.14$ para $x\geq P$, tendrá que ser $f(x)=0.14x+b$ para todo $x\geq P$ y para cierta constante $b$. Para que esto concuerde por continuidad con el intervalo anterior, tenemos que \[f(P)=P-60000=0.14P+b,\] luego debe ser $b=0.84P-60000$. En resumidas cuentas, hemos probado que \[f(x)=\begin{cases}0&\text{si }0\leq x\lt 60000,\\ x-60000&\text{si }60000\leq x\leq P,\\ 0.14x+0.86P-60000&\text{si }x\geq P.\end{cases}\] Ahora bien, como $f(140000)=14000\neq 140000-60000$, no puede ser $140000\leq P$, luego ha de ser $140000\gt P$ y se aplica la tercera línea de la definición de $f(x)$, es decir, \[14000=f(140000)=0.14\cdot 140000+0.84 P-60000.\] Esta ecuación de primer grado tiene solución $P=\frac{2720000}{43}\approx 63255.8$.

Para representar la gráfica de la función, solo hay que darse cuenta de que está formada por tres trozos rectilíneos: el primero es la constante cero, el segundo tiene pendiente $1$ que pasa por el punto $(60000,0)$ y el tercero tiene pendiente $0.14$ y pasa por $(140000,14000)$. Queda así una gráfica como se muestra en la figura.