Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Originalmente las fichas están ordenadas \[1\quad 2\quad 3\quad 4\quad\ldots\quad 997\quad 998\quad 999\quad 1000.\] Tras una operación como las descritas en el enunciado, quedan \[3\quad 4\quad 5\quad 6\quad\ldots\quad 999\quad 1\quad 1000\quad 2.\] Por lo tanto, las fichas se intercambian sus posiciones de la siguiente manera en cada operación: \[1\to 998\to 996\to\ldots\to 4\to 2\to 1000\to 999\to 997\to 995\to\ldots\to 5\to 3\to 1,\] donde los primeros puntos suspensivos contienen todos los pares y los segundos puntos suspensivos todos los impares. Este diagrama quiere decir que, en cada operación, la ficha que ocupe la posición $1$ va a la posición $998$, la que ocupa la posición $998$ va a la $996$ y así sucesivamente. Tenemos, por tanto, que tras $1000$ operaciones cada ficha habrá recorrido todas las posiciones cíclicamente y vuelto a su posición inicial.

En el caso de $n=2k+1$ impar, el mismo razonamiento anterior nos da dos recorridos cíclicos disjuntos: \[1\to 3\to 5\to\ldots\to 2k-3\to 2k-1\to 1,\] \[2\to 4\to 6\to\ldots\to 2k-2\to 2k\to 2k+1\to 2.\] El primero tiene $k$ elementos y el segundo $k+1$. Por lo tanto, tras $n=2k+1$ operaciones, ni el primer ni el segundo se cierran de forma exacta porque $k$ y $k+1$ son primos relativos con $2k+1$.

Nota. En el lenguaje de permutaciones, se tiene un ciclo de longitud $1000$ que, elevado a la potencia $1000$, nos da la permutación identidad (un ciclo de longitud $r$ tiene orden $r$ en el grupo de permutaciones). En el caso $n=2k+ 1$, el orden de la permutación es $k(k+1)=\operatorname{mcm}(k,k+1)$, que es el número mínimo de operaciones para volver a la identidad.