Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos tomar coordenadas en el plano vertical para suponer que $A=(0,0)$, $B=(a,0)$ y la semicircunferencia tiene ecuación $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=\frac{a^2}{4}$, es decir, $x^2-ax+y^2=0$ tras simplificar. Si tomamos el ángulo $\theta$ que forma el segmento con la horizontal, este tendrá ecuación $y=-x\,\tan\theta$. Por lo tanto, el extremo $P$ del segmento estará en la intersección de la recta y la circunferencia, sistema de ecuaciones que puede resolverse fácilmente: \[\left\{\begin{array}{r}x^2-ax+y^2=0\\y=-x\,\tan\theta\end{array}\right\}\ \Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{l}x=a\cos^2\theta,\\y=-a\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta.\end{array}\right.\] Consideramos el punto medio del segmento, que denotaremos por $M=(x_M,y_M)$ y sean $M'$ y $P'$ las proyecciones de $M$ y $P$, respectivamente, sobre el eje $OX$. Trabajando sobre el triángulo rectángulo $AMM'$, \[\operatorname{sen}\theta=\frac{AM'}{AM}=\frac{-y_M}{\sqrt{x_M^2+y_M^2}-\frac{a}{2}}=\frac{-y_M}{a(\cos\theta-\frac{1}{2})}.\] Queremos maximizar $-y_M$, que será equivalente a maximizar $f(\theta)=a\operatorname{sen}\theta(\cos\theta-\frac{1}{2})$.

Esta función es derivable y tiene derivada $f'(\theta)=a(2\cos^2\theta-\frac{1}{2}\cos\theta-1)$. Observamos que $f(\theta)$ debe tener algún mínimo para $0\lt\theta\lt \frac{\pi}{2}$, y podemos resolver $f'(\theta)=0$ como ecuación de segundo grado en $\cos\theta$. Obtenemos así (¡completa los detalles del cálculo!) un único punto en dicho intervalo que es el que verifica \[\cos\theta=\frac{1+\sqrt{33}}{8}.\]