Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $a$ a la cifra de las cententas, $b$ a la de las unidades y $c$ a la de las unidades. Entonces, $b$ puede ser cualquier entero entre $2$ y $9$, $a$ tiene que estar entre $1$ y $b-1$ y $c$ entre $0$ y $b-1$. Por tanto, para cada valor de $b$ tenemos $(b-1)b=b^2-b$ posibles elecciones para el par $(a,c)$, por lo que la solución a la primera pregunta se obtiene sumando $b^2-b$ para $b$ desde $2$ a $9$, es decir, \begin{align*} 2^2+3^2+\ldots+9^2-(2+3+\ldots+9)&=1^2+2^2+\ldots+9^2-(1+2+\ldots+9)\\ &=\frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}-\frac{9\cdot 10}{2}=240. \end{align*} Para responder al apartado (b), de lo anterior habrá que descontar los que tienen $a=c$, que ahora puede ser cualquier dígito entre $1$ y $b-1$, luego tendremos que la solución es \[240-(1+2+\ldots+8)=240-\frac{8\cdot 9}{2}=204.\]