Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Pongamos que el ángulo inicial es $\theta_i$ y el ángulo final es $\theta_f=\frac{4900}{3}\pi+\theta_i$, mientras que el radio inicial es $r_i=\frac{23}{4}$ y el radio final es $r_f=\frac{29}{2}$. Por lo tanto, debe cumplirse que \[\frac{23}{4}=a\theta_i,\qquad \frac{29}{2}=a\left(\frac{4900}{3}\pi+\theta_i\right).\] De este sistema de ecuaciones se deduce fácilmente que $\theta_i=\frac{3220}{3}\pi$ y $a=\frac{3}{560\pi}$, lo que nos da $\theta_f=\frac{8120}{3}\pi$. Entonces, la longitud del surco $L$ puede calcularse en coordenadas polares como la siguiente integral: \begin{align*} L&=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}\,\mathrm{d}\theta=\int_{\frac{3220}{3}\pi}^{\frac{8120}{3}\pi}\sqrt{a^2\theta^2+a^2}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{3}{560\pi}\int_{\frac{3220}{3}\pi}^{\frac{8120}{3}\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,\mathrm{d}\theta. \end{align*}

Esta última integral no es sencilla, pero puede resolverse mediante el cambio de variable $\theta=\operatorname{senh} t$, que nos lleva a $\mathrm{d}\theta=\cosh t$. Como $\cosh^2\theta=1+\operatorname{senh}^2\theta$, tenemos \begin{align*} \int\sqrt{1+\theta^2}\,\mathrm{d}\theta&=\int\cosh^2 t\,\mathrm{d}t=\int\frac{1+\cosh(2t)}{2}\,\mathrm{d}t\\ &=\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{4}\sinh(2t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}\theta+\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}\theta). \end{align*} Por lo tanto, el resultado final será \[L=\frac{3}{560\pi}\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}(\tfrac{8120}{3}\pi)+\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}(\tfrac{8120}{3}\pi))-\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}(\tfrac{3220}{3}\pi)-\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}(\tfrac{3220}{3}\pi))\right).\] Este último número puede hallarse con calculadora y nos da aproximadamente $51954,\!08930$ cm, es decir, aproximadamente $519,\!54$ m de longitud de surco.