Problemas de Matemáticas

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Problema 1426

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Pista. ¿Qué relación hay entre $\cos(x)+\mathrm{sen}(x)$ y $\mathrm{sen}(x+45^\circ)$?

Solución.

Si multiplicamos por $\cos(45)=\sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ la ecuación, obtenemos \[\mathrm{sen}(x+45)=\mathrm{sen}(45)\cos(x)+\cos(45)\mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(45)(\cos(x)+\mathrm{sen}(x)).\] Por lo tanto, la desigualdad que queremos probar se traduce en que \[\mathrm{sen}(x+45^\circ)\gt\cos(45).\] En el intervalo $[0,360]$, los ángulos cuyo seno es mayor que el seno de $45$ son los del intervalo $(45,135)$, luego la inecuación anterior tiene como soluciones los puntos de los intervalos $(0,90)$, salvo múltiplos de $360$.
Para $x\in(0,180)$, el seno es positivo, luego tenemos las mismas soluciones del apartado anterior $(0,90)$. Ahora bien, la función $f(x)=\cos(x)+|\mathrm{sen}(x)|$ cumple que $f(-x)=f(x)$ (es par), luego también tenemos las soluciones $(-90,0)$. Si observamos finalmente que $x=0$ no es solución ya que $f(0)=1$ y que $f(x)$ tiene período $360$, tenemos que la respuesta es los intervalos $(-90,0)$ y $(0,90)$, salvo múltiplos enteros de $360$.

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