Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1427
Es bien sabido que si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, entonces ambas razones son iguales a $\frac{p-r}{q-s}$. Escribimos ahora la igualdad
\[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}.\]
Por la propiedad anterior, ambas fracciones deben ser iguales a
\[\frac{3x-b-3a+4b}{3x-5b-3a+8b}=\frac{3x-3a+3b}{3x-3a+3b}=1,\]
mientras que las propuestas son de ordinario distintas de la unidad. Explicar con claridad a qué se debe este resultado.
pistasolución 1info
Pista. Se está produciendo una indeterminación $\frac{0}{0}$ en algún momento.
Solución. Tenemos que
\[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}\ \Longleftrightarrow\ (3x-b)(3a-8b)=(3a-4b)(3x-5b)\ \Longleftrightarrow\ b(x-a+b)=0.\]
Por lo tanto, con la hipótesis de que ambas razones son iguales, necesariamente $b=0$ (en cuyo caso sí se tiene claramente que ambas son igual a $1$ y no hay paradoja) o bien $x-a+b=0$ (en cuyo caso la última igualdad no es $1$ ya que el denominador es cero y no puede hacerse el razonamiento).
En otras palabras, si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ entonces estas razones coinciden con $\frac{p-r}{q-s}$ con la condición adicional de que $q-s$ no sea cero.
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