Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1428
Se construye con alambre un triángulo equilátero de lado $\ell$ y se deposita sobre una esfera maciza de radio $r$ (que no pasa a través del triángulo). ¿A qué distancia del centro de la esfera quedan los vértices del triángulo?
pistasolución 1info
Pista. Observa que la esfera es tangente a los tres lados del triángulo. Busca triángulos rectángulos que se formen entre el centro de la esfera, los vértices del triángulo y los puntos de tangencia.
Solución. Sea $ABC$ el triángulo equilátero, $M$ el punto medio del lado $AB$ y $O$ el centro de la esfera. El lado $AB$ es tangente a la esfera en $M$, luego perpendicular a $OM$, de forma que $AOM$ es un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras nos asegura que
\[AO^2=OM^2+MA^2=R^2+\frac{\ell^2}{4},\]
luego la distancia que nos piden es $AO=\sqrt{R^2+\frac{\ell^2}{4}}$.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre