Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $\rho$ el radio de la base menor y $h$ la altura del tronco de cono. Teniendo en cuenta que la altura del cono sin truncar es $mr$ y la del cono pequeño eliminado es $\rho m=rm-h$, se calcula fácilmente el volumen del tronco \[V=\frac{\pi}{3m^2}(m^3r^3-(mr-h)^3).\] Como la masa total es $Vd+\pi\rho^2p$, la función a maximizar es \[f(h)=\frac{\pi}{3m^2}(m^3r^3-(mr-h)^3)+\frac{\pi p}{m^2}(rm-h)^2.\] Esta función es un polinomio de tercer grado en $h$ cuya derivada viene dada por \[f'(h)=\frac{\pi}{m^2}(d(mr-h)^2-2p(mr-h)),\] que se anula cuando $h=mr$ o bien cuando $h=mr-\frac{2p}{d}$. Ahora bien, $f(h)$ es un polinomio de tercer grado con coeficiente líder positivo, luego tendrá un máximo relativo en $h=mr-\frac{2p}{d}$ y un mínimo relativo en $h=mr$. Además, se tiene la restricción $0\lt h\leq mr$ ya que la altura tiene que ser positiva y menor o igual que la del cono sin truncar. Se deduce así que

• Si $\frac{2p}{d}\lt mr$, la masa máxima se alcanza para $h=mr-\frac{2p}{d}$.
• En caso contrario, si $\frac{2p}{d}\geq mr$, la masa máxima se alcanza para $h=0$.