Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Todo número impar al cuadrado es congruente con $1$ módulo $8$, mientras que los números pares al cuadrado son congruentes con $0$ ó con $4$ módulo $8$. Una distinción de casos en la ecuación inicial nos lleva directamente a que $x$, $y$ y $z$ han de ser pares los tres, luego podemos escribir $x=2x'$, $y=2y'$, $z=2z'$ y, sustituyendo estos valores en la ecuación inicial, obtenemos que \[(x')^2+(y')^2+(z')^2=4(x')^2(y')^2.\] A estos nuevos números se les puede aplicar el mismo razonamiento para probar que $x'$, $y'$ y $z'$ son pares y el proceso puede repetirse indefinidamente, lo que nos lleva a que $x$, $y$ y $z$ tienen que ser divisibles por cualquier potencia de $2$ y, por tanto, $x=y=z=0$. Se comprueba que esta es una solución de la ecuación y, por tanto, es la única.

Nota. Otra forma equivalente de plantear esta misma solución es mediante la técnica del descenso infinito.