Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $O_n$ y $r_n$ el centro y radio de la circunferencia $\gamma_n$, y sea $T_n$ su punto de tangencia con una de las dos rectas. Consideremos además la homotecia de razón $0\lt\lambda\lt 1$ con centro en $P$ que lleva $\gamma_1$ en $\gamma_2$. Es fácil ver entonces por inducción sobre $n$ que dicha homotecia lleva $\gamma_n$ en $\gamma_{n+1}$ para todo $n$, luego también lleva $O_n$ en $O_{n+1}$ y $T_n$ en $T_{n+1}$. En particular, tenemos que $r_n=\lambda^{n-1}r$ también por inducción sobre $n$. Ahora bien, la distancia $PO_1=a$ es la suma de $r$ y los diámetros de todas las circunferencias $\gamma_n$, es decir, \[a=r+2(r_2+r_3+\ldots)=r+2(\lambda r+\lambda^2r+\ldots)=r+2\lambda r(1+\lambda+\lambda^2+\ldots)=r+\frac{2\lambda}{1-\lambda},\] donde hemos usado la fórmula de la suma de una progresión geométrica infinita. De aquí podemos despejar $\lambda=\frac{a-r}{a+r}$ y podemos responder ya a los tres apartados:

1. El radio de $\gamma_2$ es $r_2=\lambda r=\frac{r(a-r)}{a+r}$.
2. El radio de $\gamma_n$ es $r_n=\lambda^{n-1}r=\frac{r(a-r)^{n-1}}{(a+r)^{n-1}}$.
3. El límite de la suma de las longitudes de las circunferencias es \[2\pi(r_1+r_2+\ldots)=2\pi r(1+\lambda+\lambda^2+\ldots)=\frac{2\pi r}{1-\lambda}=\pi(a+r).\]