Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Cada diagonal es paralela al lado opuesto, luego los triángulos $ACD$ y $DQE$ que se indican en la figura son semejantes. Entonces, tenemos que $\frac{QE}{CD}=\frac{DE}{AD}$. Ahora bien, si llamamos $\ell$ y $d$ a las longitudes del lado y la diagonal del pentágono, lo anterior nos dice que $\frac{d-\ell}{\ell}=\frac{\ell}{d}$, de donde obtenemos que $d^2-d\ell-\ell^2=0$ o, equivalentemente $(\frac{d}{\ell})^2-\frac{d}{\ell}-1=0$ y resolver con la fórmula de la ecuación de segundo grado, esto es, \[\frac{d}{\ell}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\] Este es el conocido facto de que la razón de la diagonal al lado del pentágono regular es la razón áurea. Ahora bien, el lado del pentágono pequeño es \[PQ=PE+BQ-BE=(d-\ell)+(d-\ell)-\ell=2d-3\ell\] y su razón con el lado $BC=\ell$ del pentágono grande es \[\frac{PQ}{\ell}=2\frac{d}{\ell}-3=-2+\sqrt{5}.\] Deducimos así la respuesta a las preguntas del enunciado:

1. Los dos pentágonos son semejantes con razón $\sqrt{5}-2$.
2. Las áreas están en relación $(\sqrt{5}-2)^2=9-4\sqrt{5}$.
3. La homotecia de centro el centro común de los pentágonos y razón negativa $2-\sqrt{5}$ transforma el pentágono de lado $BC$ en el pentágono de lado $PQ$.