Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La longitud de la hipotenusa $BC$ de un triángulo rectángulo $ABC$ es $a$ y sobre ella se toman los puntos $M$ y $N$ tales que $BM = NC = k$, con $k\lt\frac{a}{2}$. En función de estos datos $a$ y $k$, calcular:

1. El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes $AM$ y $AN$.
2. La razón de las áreas de los triángulos $ABC$ y $AMN$.
3. El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos $A$ , $M'$ y $N'$, siendo $M'$ la proyección ortogonal de $M$ sobre $AC$ y $N'$ la de $N$ sobre $AB$.