Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si $A'B'C'D'$ es un rectángulo, entonces las rectas $A'C'$ y $B'D'$ son diámetros de su circunferencia circunscrita $\Gamma'$. Al volver a aplicar la inversión, $\Gamma'$ se convierte en $\Gamma$, la recta que contiene a $A,B,C,D$, luego las diagonales del rectángulo se transforman en las circunferencias ortogonales a $\Gamma$ de diámetros $AC$ y $BD$. El centro $P'$ de $A'B'C'D'$ debe corresponderse por la inversión con uno de los puntos $P$ de intersección de estas dos circunferencias ortogonales a $\Gamma$. Por simetría, podemos suponer que $P$ es uno de ellos. El otro debe ser el centro de la inversión $O$ ya que debe transformar estas circunferencias en rectas (las diagonales $A'C'$ y $B'D'$).

Finalmente veamos qué pasa con la potencia de la inversión, porque aún no sabemos que sea factible que haya una inversión de centro $O$ que haga esta transformación. Sin embargo, cualquier inversión de centro $O$ cumple la propiedad ya que por tal inversión $A'C'$ y $B'D'$ son rectas y $\Gamma$ se transforma en $\Gamma'$ perpendicular a estas rectas, luego el transformado $O'$ es el centro de $\Gamma'$ y del rectángulo.