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Problema 1441
Un semáforo instalado en un cruce principal de una vía en la que se circula en ambos sentidos permanece en rojo $30$s y en verde otros $30$s, alternativamente. Se desea instalar otro semáforo en la misma vía, para un cruce secundario situado a $400$m de distancia del primero, que funcione con el mismo período de $1$ min de duración. Se quiere que los coches que circulan a $60$km/h por la vía en cualquiera de los dos sentidos y que no se tienen que parar si sólo hubiese el semáforo del cruce principal tampoco se tengan que parar después de instalar el del cruce secundario. ¿Cuántos segundos puede estar encendido el rojo en el semáforo secundario?
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Pista. Los coches en cuestión tardan $24$ segundos en hacer el recorrido entre un semáforo y otro, luego sólo tienes que mover el intervalo de apertura $24$ segundos hacia atrás y $24$ segundos hacia delante para contemplar a los coches que van en un sentido o en otro.
Solución. Un coche a $60$ km/h tarda $24$ s en recorrer $400$ m. Pongamos un reloj segundero de forma que el cruce principal abre en en el intervalo $[0,30]$ y cierra en el intervalo $[30,60]$. Entonces, un coche A por el cruce principal en $[0,30]$ y circula a $60$ km/h llega al secundario en el intervalo $[24,54]$. Un coche B que vienen en sentido contrario a $60$ km/h y quiere llegar al cruce principal en $[0,30]$ deben haber pasado por el secundario en $[-24,6]$. Trabajando módulo $60$, esto nos deja libre únicamente el intervalo $[6,24]$, luego la respuesta es $18$ s.
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