Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Este es un problema de ingenio. En principio, podemos calcular la altura $h_v$ del cilindro que forma el vino (siempre que el doble decímetro la abarque). Al darle la vuelta y poner la botella en vertical con el cuello hacia abajo, el aire formará un cilindro del que también podemos medir su altura $h_a$. Entonces, el volumen es la suma de los volúmenes de los dos cilindros $\pi r^2(h_a+h_v)$, donde nos queda por calcular $r$, el radio del cilindro.

Para ello, ponemos el doble decímetro sobre la base de la botella y marcamos los puntos $A,B,C,D$ en los que los lados del decímetro cortan a la circunferencia, siendo $AB$ y $CD$ cuerdas paralelas de la circunferencia. Podemos marcar los puntos medios de $AB$ y $CD$ (midiendo) y luego trazamos la recta que los une, que será un diámetro de la circunferencia. Teniendo este diámetro, lo dividimos entre $2$ para obtener el radio.

Con este método, se puede calcular el volumen siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

• al voltear la botella el nivel del vino queda en la parte cilíndrica,
• la altura del vino y del aire no excede los $20$ cm que permite medir el doble decímetro,
• el ancho del doble decímetro es menor que el diámetro de la base de la botella.