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Problema 1445
Por una carretera circula una caravana de coches, todos a la misma velocidad, manteniendo la separación mínima entre uno y otro señalada por el Código de Circulación. Esta separación es, en metros, $v^2/100$, donde $v$ es la velocidad expresada en km/h. Suponiendo que la longitud de cada coche es de $2,\!89$ m, calcular la velocidad a la que deben circular para que la capacidad de tráfico resulte máxima, es decir, para que en un tiempo fijado pasen el máximo número de vehículos por un punto de la carretera.
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Pista. Maximizar el número de coches equivale a minimizar el tiempo que transcurre desde que pasa un coche hasta que pasa el siguiente coche.
Solución. Un coche junto con su separación con el siguiente ocupan $\frac{v^2}{100}+2,\!89$ m. Como van a una velocidad de $v$ km/h, que son $1000v$ m/h y el tiempo es igual al espacio dividido entre velocidad, todo el paquete coche-espacio tarda en pasar un tiempo en horas
\[t(v)=\frac{\frac{v^2}{100}+2,\!89}{1000v}.\]
Maximizar el número de vehículos equivale a minimizar $t(v)$ para $v\gt 0$. Multiplicando por $10^5$, esto a su vez equivale a minimizar
\[f(v)=v+\frac{289}{v}.\]
Esta función es derivable en $(0,+\infty)$ y tiene derivada
\[f'(v)=1-\frac{289}{v^2},\]
que sea anula únicamente en $v=\sqrt{289}=17$. La derivada es negativa hasta este valor y luego positiva, luego se trata del mínimo absoluto en $(0,+\infty)$. Deducimos así que la velocidad óptima es $17$ km/h.
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