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Problema 1447problema obsoleto
En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0,\!9$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que el grosor final del hielo no es $10$ cm, sino $10/0,\!9$ cm por efecto del aumento de densidad.
Solución. El peso del agua se conserva al congelarse pero disminuye su densidad, con lo que aumenta el volumen, dividiéndose por $0,\!9$. Como la superficie se mantiene constante, esto se traduce en que la altura del agua (o profundidad del estanque) una vez congelado es $10/0,\!9=\frac{100}{9}$ cm. Por lo tanto, si asumimos como nos dice el enunciado que el grosor de la capa de hielo viene dado por la función $g(t)=a\sqrt{t-t_0}$, siendo $a$ la constante de proporcionalidad y $t_0$ el tiempo (en horas respecto de la medianoche) en que empieza a helarse, podemos escribir $g(0)=3$ y $g(4)=\frac{100}{9}$.
Elevando al cuadrado para eliminar las raíces, estas condiciones se traducen en \[a^2(-t_0)=9,\qquad a^2(4-t_0)=\frac{10000}{81}.\] Dividiendo ambas ecuaciones para eliminar $a^2$, tenemos que \[\frac{t_0-4}{t_0}=\frac{10000}{729}\ \Leftrightarrow\ 243t_0-972=10000t_0\ \Leftrightarrow\ t_0=\frac{-2916}{9757}\approx-0.314529.\] Concluimos que el agua comenzó a helarse aproximadamente $0.314529$ horas antes de la medianoche.
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