Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $ABC$ el triángulo. Un rectángulo cuyos cuatro vértices están sobre los lados del triángulo debe tener un lado completamente apoyado sobre dicho lado y los otros dos vértices en los otros dos lados. Supongamos que está apoyado sobre el lado $BC$ y tiene los otros vértices uno en $AB$ y el otro en $AC$ sin perder generalidad (el mismo razonamiento se repite en los otros casos). Además, el triángulo debe tener ángulos agudos en $B$ y $C$ o en caso contrario no existirá ningún rectángulo (nos dicen que los vértices están sobre los lados, no sobre las rectas que los contienen).

Pongamos coordenadas de forma que $B=(0,0)$, $C=(c,0)$ y $A=(a,b)$. Como un lado del rectángulo está apoyado en $BC$, el lado opuesto estará en la recta paralela $y=\lambda b$ para $0\leq\lambda\leq 1$, que corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $(\lambda a,\lambda b)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,\lambda c)$, respectivamente. Los otros dos vértices del rectángulo son, por lo tanto, $(\lambda a,0)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,0)$. El centro del rectángulo se puede calcular como la media de los cuatro vértices, es decir, \[M=\left(\lambda a+\frac{1-\lambda}{2}c,\frac{\lambda}{2}b\right)=\lambda\left(a,\frac{b}{2}\right)+(1-\lambda)\left(\frac{c}{2},0\right).\] Al variar $\lambda\in[0,1]$ el punto $M$ describe el segmento que une $(a,\frac{b}{2})$ y $(\frac{c}{2},0)$, es decir, el segmento de extremos el punto medio de la altura desde el vértice $A$ y el punto medio del lado $BC$.

Por lo tanto, si el triángulo es acutángulo, el lugar geométrico consistirá en la unión de tres segmentos; en caso contrario, será un único segmento.