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Problema 1452
OME Nacional, 1968-P6
Razonar si en todo tetraedro son concurrentes:
  1. Las perpendiculares a las caras en sus circuncentros.
  2. Las perpendiculares a las caras en sus ortocentros.
  3. Las perpendiculares a las caras en sus incentros.

En caso afirmativo, caracterizar con alguna propiedad geométrica sencilla el punto en que concurren. En caso negativo, mostrar un ejemplo en el que se aprecie claramente la no concurrencia.

pistasolución 1info
Pista. En los apartados (b) y (c), observa que es muy fácil calcular ortocentros e incentros en triángulos rectángulos.
Solución.
  1. El circuncentro es el punto que equidista de los tres vértices, luego los puntos de la perpendicular a una cara en su circuncentro también equidistan de los vértices de esa cara. Por lo tanto, las cuatro perpendiculares se cortarán en el punto que equidista de los cuatro vértices, el circuncentro del tetraedro (centro de la única esfera que pasa por esos cuatro puntos).
  2. En el caso de los ortocentros, podemos considerar un tetraedro de vértices $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,1)$ y $C=(0,1,1)$. Las caras $OAC$ y $OBC$ son triángulos rectángulos cuyos ortocentros son $O$ y $C$, respectivamente. Como estas caras están contenidas en los planos $OXZ$ y $OYZ$, se sigue que dos de las cuatro rectas perpendiculares que debemos considerar son $x=z=0$ y $z-1=y=0$. Estas dos rectas no se cortan ya que una está en el plano $z=0$ y la otra en $z=1$, Por lo tanto, la respuesta es negativa en general.
  3. En el caso de los incentros, podemos tomar la misma configuración $O=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $B=(0,b,0)$ y $C=(0,0,c)$. El incentro de $OAB$ está en el plano bisector $x=y$, el de $OBC$ en $y=z$ y el de $OCA$ en $z=x$. Por lo tanto, si las rectas se cortaran tendría que ser en un punto con $x=y=z$. Esto nos dice que los triángulos $OAB,OBC,OCA$ deberían tener el mismo inradio, pero puede elegirse $a,b,c$ para que esto no ocurra. Por lo tanto, la respuesta es también negativa en general.
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