Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1453
En la succesión de potencias de 2 (escritas en el sistema decimal, comenzando con $2^1 = 2$) hay tres términos de una cifra, otros tres de dos cifras, otros tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etc. Razonar claramente las respuestas a las cuestiones siguientes:
- ¿Puede haber solamente dos términos con un cierto número de cifras?
- ¿Puede haber cinco términos con el mismo número de cifras?
- ¿Puede haber cuatro términos de $n$ cifras, seguidos de cuatro con $n+1$ cifras?
- ¿Cuál es el número máximo de potencias consecutivas de 2 que pueden encontrarse sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de cifras?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSolución.
- El primer término que tiene $n\geq 1$ cifras, debe tener su cifra más significativa igual a $1$, por lo que podemos asegurar que está entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$. El siguiente término estará entre $2\cdot 10^{n-1}$ y $4\cdot 10^{n-1}$, el siguiente a este estará entre $4\cdot 10^{n-1}$ y $8\cdot 10^{n-1}$ y el siguiente entre $8\cdot 10^{n-1}$ y $16\cdot 10^{n-1}$. Estos cuatro podrían tener $n$ cifras, pero el siguiente está entre $16\cdot 10^{n-1}$ y $32\cdot 10^{n-1}$ y tiene necesariamente $n+1$ cifras. Esto nos da una respuesta negativa a este apartado.
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