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Problema 1453
En la succesión de potencias de 2 (escritas en el sistema decimal, comenzando con $2^1 = 2$) hay tres términos de una cifra, otros tres de dos cifras, otros tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etc. Razonar claramente las respuestas a las cuestiones siguientes:
- ¿Puede haber solamente dos términos con un cierto número de cifras?
- ¿Puede haber cinco términos con el mismo número de cifras?
- ¿Puede haber cuatro términos de $n$ cifras, seguidos de cuatro con $n+1$ cifras?
- ¿Cuál es el número máximo de potencias consecutivas de 2 que pueden encontrarse sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de cifras?
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en que la primera potencia de $2$ con $n$ cifras está siempre entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$ y usa esto para estimar en qué intervalo están las siguientes.
Solución.
- Sea $n$ un entero positivo. El primer término que tiene $n$ cifras, debe tener su cifra más significativa igual a $1$, por lo que podemos asegurar que está entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$. El siguiente término estará entre $2\cdot 10^{n-1}$ y $4\cdot 10^{n-1}$, el siguiente a este estará entre $4\cdot 10^{n-1}$ y $8\cdot 10^{n-1}$. Esto nos da tres términos consecutivos de $n$ cifras (para cualquier $n$) luego la respuesta a este apartado es negativa.
- Siguiendo con el razonamiento anterior, el siguiente número está entre $8\cdot 10^{n-1}$ y $16\cdot 10^{n-1}$, que podría tener o no $n$ cifras. Lo que es seguro es que el quinto está entre $16\cdot 10^{n-1}$ y $32\cdot 10^{n-1}$ y tiene necesariamente $n+1$ cifras. Esto nos da una respuesta también negativa a este apartado.
- Siguiendo aún más, tenemos que el sexto número está entre $32\cdot 10^{n-1}$ y $64\cdot 10^{n-1}$ y el séptimo entre $64\cdot 10^{n-1}$ y $128\cdot 10^{n-1}$. El octavo ya tendrá $n+2$ cifras, luego puede haber máximo $7$ consecutivos con $n$ y $n+1$ cifras. La respuesta es, por lo tanto, negativa de nuevo.
- Supongamos que $2^k,2^{k+1},\ldots,2^{k+r}$ es una cadena de longitud máxima de potencias de dos de forma que no haya cuatro con el mismo número de cifras. Entonces, está claro que las tres primeras $2^k,2^{k+1},2^{k+2}$ tienen un cierto número de cifras y la anterior $2^{k-1}$ también tiene el mismo número de cifras (en caso contrario, se podría extender la cadena). De la misma forma, las tres últimas $2^{k+r-2},2^{k+r-1},2^{k+r}$ tienen el mismo número de cifras y la siguiente $2^{k+r+1}$ tiene el mismo número de cifras. La cadena de potencias queda, por tanto, dividida en conjuntos de tres potencias consecutivas con el mismo número de cifras por el apartado (a), es decir, $r$ es necesariamente un múltiplo de $3$.
Ahora bien, haciendo el mismo argumento de los apartados anteriores a partir de $2^{k+3}$, que supondremos entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$, como las primeras potencias de $2$ son \[1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 32,\quad 64,\quad 128,\quad 256,\quad 512,\quad 1024,\quad 2048,\quad 4094,\quad 8192\ldots,\]
tenemos necesariamente que $2^{k+15}$ está entre $4094\cdot 10^{n-1}$ y $8192\cdot 10^{n-1}$, luego tiene $n+3$ cifras. En otras palabras, las trece potencias $2^{k+3},2^{k+4},\ldots,2^{k+15}$ tienen entre $n$ y $n+3$ cifras y debe haber al menos cuatro con el mismo número de cifras por el principio del palomar. Por lo tanto, se sigue que $r\leq 14$, es decir, la solución a este apartado es un número menor o igual que $15$.Ver que realmente la solución es $15$ excede cualquier cálculo razonable y posiblemente al proponer el problema no se ha pensado en hacer esta parte sino en dar únicamente la cota superior. Hay que encontrar quince potencias de $2$ consecutivas que cumplan la propiedad y las potencias más pequeñas que hacen esto son \[2^{91},2^{92},2^{93},\ldots,2^{105}.\]
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