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Problema 1454
Supondremos que los lados de un cuadrado son reflectantes y los designaremos con los nombres de los cuatro puntos cardinales (N-E-S-W). Señalando un punto en el lado N, determinar en qué dirección debe salir un rayo de luz (hacia el interior del cuadrado) para que retorne a él después de haber sufrido $n$ reflexiones en el lado $E$, otras $n$ en el lado $W$, $m$ en el $S$ y $m-1$ en el $N$, siendo $n$ y $m$ números naturales conocidos. ¿Qué ocurre si $m$ y $n$ no son primos entre sí? Calcular la longitud del rayo luminoso considerado en función de $m$ y $n$ y de la longitud del lado del cuadrado.
pistasolución 1info
Pista. Refleja el cuadrado respecto de sus lados para formar una cuadrícula de forma que la trayectoria quebrada se convierta en rectilínea.
Solución. Como es usual en los problemas de espejos, en lugar de intentar entender la trayectoria dentro del cuadrado, reflejamos sus lados para producir una cuadrícula infinita. En la figura, el cuadrado original está sombreado y los lados N-E-S-W están pintados de colores rojo-amarillo-azul-verde, respectivamente. El punto de partida (y sus reflejados) se ha pintado con un círculo negro. La trayectoria que parte hacia el interior del cuadrado y tiene el número de reflexiones indicado se ha marcado con trazo negro (en el caso $n=3$ y $m=4$). Respondemos con esta información a las preguntas:
- El rayo tiene que recorrer $2n$ cuadrados en horizontal y $2m$ en vertical, luego tiene que salir con un ángulo $\arctan(\frac{m}{n})$ respecto del lado norte. Da igual en qué sentido se mide el ángulo porque coger un ángulo u otro corresponde con hacer el camino inverso.
- La distancia recorrida es $2\ell\sqrt{m^2+n^2}$, siendo $\ell$ la longitud del lado del cuadrado.
- Si $m$ y $n$ no son primos entre sí, entonces se pasa por el punto inicial más de una vez antes de terminar en dicho punto final en las condiciones dadas.
Nota. Se está suponiendo que si el rayo impacta exactamente en una esquina del cuadrado, entonces vuelve por el mismo camino y se cuenta como que ha rebotado en los dos lados que forman esa esquina.
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