Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} ax_1^2+bx_1+c=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c=x_3\\ ax_3^2+bx_3+c=x_4\\ \vdots\\ ax_n^2+bx_n+c=x_1 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son las incógnitas y $a,b,c$ son números reales con $a\neq 0$. Sea $\Delta=(b-1)^2-4ac$. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Si $\Delta\lt 0$, el sistema no tiene soluciones.
2. Si $\Delta=0$, el sistema tiene exactamente una solución.
3. Si $\Delta\gt 0$, el sistema tiene más de una solución.