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Problema 147
OME Nacional, 1994-P6
Un polígono convexo de $n$ lados se descompone en $m$ triángulos de modo que cada lado de esos $m$ triángulos es también un lado de otro triángulo contiguo o del polígono dado.
  1. Demostrar que $m+n$ es par.
  2. Conocidos $m$ y $n$, hallar el número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices distintos que quedan en ese interior.
pistasolución 1info
Pista. Si sumas el número de lados de todos los triángulos más el número de lados del polígono, estarás contando cada una de las aristas de la figura dos veces.
Solución. Es fácil ver que $3m+n$ es exactamente el doble del número de aristas (segmentos que son lados de alguno de los triángulos) ya que $3m$ es el número total de lados de los $m$ triángulos y $n$ el número de lados del polígono. Por tanto $m+n=(3m+n)-2m$ es también un número par.

Para calcular el número de vértices interiores, usemos la fórmula de Euler: $C+V=A+2$, donde $C$ es el número de caras (regiones en que ha quedado dividido el plano), $V$ el número de vértices y $A$ el de aristas. El número de caras es $C=m+1$ ya que se cuenta también el exterior del polígono como cara y el número de aristas es $A=\frac{1}{2}(3m+n)$ como hemos visto anteriormente, luego $V=A-C+2=\frac{1}{2}(m+n+2)$. Como hay $n$ vértices que no son interiores (los del polígono original), el número de vértices interiores es $\frac{1}{2}(m-n+2)$.

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