Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La desigualdad $P(x)\leq P(x)^2$ no es cierta para todos los polinomios (un contraejemplo es $P(x)=x$ ya que se tiene que $x\leq x^2$ únicamente si $x\geq 1$ o $x\leq 0$). La segunda desigualdad sí que es cierta puesto que el polinomio $z^2-z+1=(z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$ es positivo para todo $z\in\mathbb{R}$, en particular para $z=P(x)$. La tercera desigualdad también es cierta puesto que el polinomio $z^2-2z+1=(z-1)^2$ es mayor o igual que $0$, en particular para $z=P(x)$.

En cuanto al apartado (b), vamos a utilizar la desigualdad $|z|\leq \frac{1+z^2}{2}$, que se deduce de la misma forma que en la tercera desigualdad del apartado (a). Podemos escribir los dos polinomios como $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ y $Q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n$ (si son de distinto grado, completamos con sumandos cero). La desigualdad triangular nos dice que \begin{align*} |P(x)|&=\left|\sum_{k=0}^na_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|a_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|a_k|}{2^k}(1+x^2)^k,\\ |Q(x)|&=\left|\sum_{k=0}^nb_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|b_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|b_k|}{2^k}(1+x^2)^k. \end{align*} Por tanto, si definimos el polinomio \[M(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\max\{|a_k|,|b_k|\}}{2^k}(1+x^2)^k,\] se cumple que $|P(x)|\leq M(x)$ y $|Q(x)|\leq M(x)$, que es lo que queríamos.

Nota. Hay muchas formas de hacer la estimación del valor absoluto del polinomio. Una forma mucho más eficiente consiste, en lugar de escribir $|x|^k\leq\frac{1}{2^k}(1+x^2)^k$, dejar las potencias pares $|x|^{2j}=x^{2j}$ y en las impares hacer $|x|^{2j+1}=x^{2j}|x|\leq\frac{1}{2}x^{2j}(1+x^2)$. Esto garantiza que el grado de $M$ es a lo sumo una unidad más que el grado máximo de $P$ y $Q$. Este es el grado óptimo ya que en general $M$ tiene que ser de grado par de forma que tienda a $+\infty$ tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.