Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La casa SEAT recomienda a los usuarios, para la correcta conservación de las ruedas, substituciones periódicas de las mismas en la forma $R\to 3\to 2\to 1 \to 4\to R$, siendo $1,2,3,4$ las ruedas delantera izquierda, delantera derecha, trasera izquierda y trasera derecha, respectivamente, y $R$ la rueda de repuesto. Llamamos $G$ a este cambio de ruedas y llamamos $G^n$ al cambio de ruedas que resulta de aplicar $n$ veces consecutivas $G$.

1. Demostrar que el conjunto $\{G^n:n\in\mathbb{N}\}$ tiene estructura de grupo, con el producto que consiste en aplicar sucesivamente los cambios de ruedas a multiplicar.
2. Cada pinchazo de una de las ruedas equivale a sustituir la rueda pinchada por la de repuesto y, una vez reparada, esta pasa a ocupar el lugar de la de repuesto. Obtener $G$ como producto de transformaciones de tipo pinchazo. ¿Forman las transformaciones de tipo pinchazo un grupo?