Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{eqnarray*} u&=&\left(\sqrt{x_1},\sqrt[3]{x_2},\ldots,\sqrt[n+1]{x_n}\right)\\ v&=&\left(1,1,\ldots,1\right) \end{eqnarray*} llegamos a que \[\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n+1]{x_n}\leq\sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2^{2/3}+x_3^{2/4}+\ldots+x_n^{2/(n+1)}}\] Ahora bien, como $x_2,\ldots,x_n$ son mayores o iguales que uno que uno, se tiene que $x_k^{2/(k+1)}\leq x_k$ pues $\frac{2}{k+1}\leq 1$. Esto demuestra la desigualdad que queremos y, si la igualdad se alcanza, entonces $x_2=\ldots=x_n=1$ por la última desigualdad y $x_1=1$ por la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Deducimos que $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$ es la única solución al problema.