Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• I. Dados dos puntos $A$ y $B$, existe una única recta $(AB)$ que pasa por ambos.
• II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos que no situados sobre una misma recta.
• III. Cuando un punto $B$ está situado entre $A$ y $C$, entonces $B$ está también entre $C$ y $A$. ($A,B,C$ son tres puntos diferentes de una recta.)
• IV. Dados dos puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$ en la recta $(AC)$ de forma que $C$ está entre $A$ y $B$.
• V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno, como máximo, está entre los otros dos.
• VI. Si $A,B,C$ son tres puntos no situados sobre la misma recta y $r$ es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta $r$ pasa por un punto del segmento $[AB]$, entonces pasa por uno del $[BC]$ o pasa por uno del $[AC]$. (Designamos por $[AB]$ al conjunto de puntos que están entre $A$ y $B$).

A partir de los axiomas anteriores, demostrar las proposiciones siguientes:

1. Teorema 1. Entre los puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$.
2. Teorema 2. De entre tres puntos situados sobre una recta, uno está siempre entre los otros dos.