Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como se dice en la indicación, si los lados están ordenados $a\geq b\geq c$, entonces los ángulos opuestos cumplen $A\geq B\geq C$ (esto es una consecuencia casi directa del teorema del seno). Entonces, la desigualdad de reordenación nos dice que \begin{align*} aA+bB+cC\geq bA+cB+aC,\\ aA+bB+cC\geq cA+aB+bC,\\ aA+bB+cC\geq aA+bB+cC. \end{align*} La última es trivial, pero sumando las tres desigualdades llegamos a que \[3(aA+bB+cC)\geq (a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)\pi,\] de donde se sigue la desigualdad del enunciado.

Nota. La igualdad en la desigualdad de reordenación se da cuando los números permutados son iguales. Así, deducimos sin mucha dificultad que la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando $a=b=c$ y $A=B=C$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.