Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que cualquiera que sea el nuúmero complejo $z$, se cumple que \[\left(1+z^{2^n}\right)\left(1-z^{2^n}\right)=1-z^{2^{n+1}}.\] Escribiendo las igualdades que resultan al dar a $n$ valores enteros no negativos y multiplicándolas, demostrar que, para $|z|\lt 1$ se cumple que \[\frac{1}{1-z}=\lim_{k\to\infty}(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\cdots(1+z^{2^k}\,).\]