Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1511
De entre los $2n$ números $1,2,3,\ldots,2n$ se eligen de cualquier forma $n+1$ números distintos. Demostrar que entre los números elegidos hay por lo menos dos tales que uno divide al otro.
pistasolución 1info
Pista. Divide los números $1,2,3,\ldots,2n$ en $n$ subconjuntos de forma que dos elementos del mismo subconjunto sean siempre uno múltiplo del otro.
Solución. Para cada número impar $k\in\{1,3,5,\ldots,2n-1\}$ consideramos el conjunto $A_k=\{k\cdot 2^m:m\geq 0\}$. La unión de estos $n$ conjuntos contiene a $\{1,2,\ldots,2n\}$, luego al tomar los $n+1$ números estaremos tomando necesariamente (al menos) dos de ellos en el mismo $A_k$ por el principio del palomar. Por lo tanto, uno de ellos será múltiplo del otro.
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