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Problema 1513problema obsoleto
Una planta crece del modo que describimos a continuación. Tiene un tronco que se bifurca en dos ramas; cada rama de la planta puede, a su vez, bifurcarse en otras dos ramas, o bien acabar en una yema. Llamaremos carga de una rama al número total de yemas que soporta, es decir, el número de yemas alimentadas por la savia que pasa por esa rama; y llamaremos alejamiento de una yema al número de bifurcaciones que la savia tiene que atravesar para llegar desde el tronco a esa yema.
Si $n$ es el número de bifurcaciones que tiene una determinada planta de ese tipo, se pide:
- Calcular el número de ramas de la planta en función de $n$.
- Calcular el número de yemas de la planta en función de $n$.
- Demostrar que la suma de las cargas de todas las ramas es igual a la suma de los alejamientos de todas las yemas.
Sugerencia. Puede procederse por inducción, demostrando que si unos resultados son correctos para una determinada planta, siguen siéndolo para la planta que se obtiene sustituyendo en ella una yema por un par de ramas terminadas en sendas yemas.
pistasolución 1info
Pista. Seguir la sugerencia.
Solución.
- A cada rama se le puede asignar una bifurcación (de la que sale dicha rama) y siempre hay exactamente dos ramas que comparten dicha bifurcación, luego el número total de ramas es $2n$.
- Cuando a una planta le añadimos una bifurcación como indica la sugerencia, el número de yemas aumenta en una unidad (una yema pasa a una bifurcación que da lugar a dos nuevas yemas). Como una planta con 1 bifurcación tiene solo 2 yemas, una planta con $n$ bifurcaciones tendrá $n+1$ yemas.
- Para una yema que fijemos, su alejamiento es el número de bifurcaciones que atraviesa, que no es más que el número de ramas que atraviesa. Por lo tanto, cuando sumamos todos los alejamientos estamos sumando una unidad por cada rama que atraviesa cada yema, y por tanto obtenemos la suma de las cargas de todas las ramas.
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