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Problema 1516
OME Nacional, 1970-P5
En los exámenes de sexto curso de cierto centro, aprueban la Física, al menos, el $70\%$ de los alumnos; las Matemáticas, al menos, el $75\%$; la Filosofía, al menos, el $90\%$; y el Inglés, al menos, el $85\%$. ¿Cuántos alumnos, al menos, aprueban esas cuatro asignaturas?
pistasolución 1info
Pista. Ve añadiendo asignaturas de una en una y viendo cuál es la peor situación posible para la intersección de todas ellas.
Solución. Habrá al menos un $45\%$ de estudiantes que hayan aprobado tanto Matemáticas como Física (dado que $70+75=145$ la situación más desfavorable es que el $100\%$ de estudiantes se reparta en $30\%$ que hayan aprobado solo física, $35\%$ solo matemáticas y $45\%$ ambas). Del $10\%$ de suspensos de Filosofía, lo peor que puede ocurrir es que todos ellos sean de los aprobados tanto en Matemáticas y Física, lo que deja un mínimo de $35\%$ de aprobados en las tres asignaturas. Finalmente, del $15\%$ de aprobados en Inglés, podría ocurrir que todos ellos sean de ese $35\%$, lo que nos deja un mínimo del $20\%$ de aprobados en las cuatro asignaturas.

Hemos demostrado que en cualquier caso, al menos un $20\%$ aprueba las cuatro, pero queda por ver que efectivamente se puede alcanzar ese $20\%$. Siguiendo el razonamiento anterior, de hecho puede probarse que, la única situación en la que hay exactamente un $20\%$ de aprobados en las cuatro asignaturas es la siguiente:

  • un $20\%$ aprueba las cuatro asignaturas,
  • un $30\%$ aprueba todas menos Física,
  • un $25\%$ aprueba todas menos Matemáticas,
  • un $15\%$ aprueba todas menos Inglés,
  • el $10\%$ restante aprueba todas menos Filosofía.
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