Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $a,b,c,d>0$ cumplen que, después de repetir el proceso un número determinado de veces, se vuelven a obtener dichos números. Observemos que $a_1b_1c_1d_1=(abcd)^2$, luego en cada paso del proceso el producto de los cuatro números se eleva al cuadrado. Como llegado un momento han de repetirse los números, esto implica que $abcd=1$. Ahora es fácil obtener más iteraciones: \[\begin{array}{llll} a_2=ab^2c,&b_2=bc^2d,&c_2=cd^2a,&d_2=da^2b\\ a_3=b^2c^2,&b_3=c^2d^2,&c_3=d^2c^2,&c_4=a^2b^2 \end{array}\] y, en general, no es difícil comprobar que $a_{2n+1},b_{2n+1},c_{2n+1},d_{2n+1}$ son los números $a^{2n}b^{2n}$, $b^{2n}c^{2n}$, $c^{2n}d^{2n}$ y $d^{2n}a^{2n}$ (aunque posiblemente en otro orden). Por tanto, en la sucesión de iteraciones aparecen los números $(a^2b^2)^n$, $(b^2c^2)^n$, $(c^2d^2)^n$ y $(d^2a^2)^n$. Si queremos que los números originales vuelvan a repetirse, se habrá de cumplir que $a^2b^2=b^2c^2=c^2d^2=a^2d^2=1$ pues en caso contrario habría infinitos términos distintos. De aquí deducimos que $ab=bc=cd=da=1$ y, de esta condición, es fácil llegar a que $a=c=x$ y $b=d=\frac{1}{x}$ para cierto $x>0$. Esto nos dice que a partir de la segunda iteración todos los términos son iguales a $1$ luego tiene que ser $x=1$ y hemos terminado.

Para probar el apartado (b), es fácil ver que el primer término de la sucesión evoluciona de la siguiente manera: \[a_1\mapsto a_1a_2\mapsto a_1a_2^2a_3\mapsto a_1a_2^3a_3^3a_4\mapsto a_1a_2^4a_3^6a_4^4a_5\mapsto\ldots\] de forma que los exponentes son números combinatorios. Después de $n-1$ iteraciones, obtenemos que el primer término se convierte en \[a_1a_2^{\binom{n-1}{1}}a_3^{\binom{n-1}{2}}\ldots a_{n-1}^{\binom{n-1}{n-1}}a_n.\] Análogamente, tras $n-1$ iteraciones, el segundo término se convierte en \[a_2a_3^{\binom{n-1}{1}}a_4^{\binom{n-1}{2}}\ldots a_n^{\binom{n-1}{n-1}}a_1\] ya que los índices van rotando cíclicamente. En consecuencia, tras $n$ iteraciones el primer término se convierte en \[a_1^2a_2^{\binom{n}{1}}a_3^{\binom{n}{2}}\ldots a_{n-1}^{\binom{n}{n-1}}a_n^2.\] El primer y último exponentes son pares. Veamos que $\binom{n}{k}$ es también par para $k$ entre $1$ y $n$. Ahora bien, podemos expresar \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}=\frac{n}{n-k}\binom{n-1}{k-1}.\] Como $\binom{n-1}{k-1}$ es un número entero y el exponente de $2$ en la factorización de $n-k$ es menor que en la de $n$ (ya que $n$ es potencia de $2$), concluimos que $\binom{n}{k}$ es par y, en consecuencia, que $a_1$ se convierte en positivo tras $n$ iteraciones. Se razona de forma análoga para probar que el resto de números son positivos tras $n$ iteraciones.