Problemas de Matemáticas

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Problema 1539

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo. Se eligen puntos $B_1,B_2,B_3$ en $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$, respectivamente, y puntos $D_1,D_2,D_3$ en $A_3A_1,A_1A_2,A_2A_3$, respectivamente. Se definen los puntos $C_1,C_2,C_3$ para que $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_1C_1,A_2C_2,A_3C_3$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot A_3B_3=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot A_3D_3.\]
Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígno convexo y elegimos puntos $B_i$ en $A_iA_{i+1}$ y puntos $D_i$ en $A_{i-1}A_i$ para todo $1\leq i\leq n$ (siendo $A_{n+1}=A_1$. Se eligen los puntos $C_i$ para que $A_iB_iC_iD_i$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_iC_i$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdots A_nB_n=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdots A_nD_n.\]

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