Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En cuanto al producto de matrices, consideremos tres matrices \[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix},\quad C= \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\] en $M$. Tenemos que comprobar tres propiedades:

• Asociativa. Por un lado, tenemos que \begin{align*} (AB)C&=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})c_{11}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})c_{21} & (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})c_{12}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})c_{22}\\ (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})c_{11}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})c_{21} & (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})c_{12}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})c_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}c_{11}+a_{12}b_{21}c_{11}+a_{11}b_{12}c_{21}+a_{12}b_{22}c_{21} & a_{11}b_{11}c_{12}+a_{12}b_{21}c_{12}+a_{11}b_{12}c_{22}+a_{12}b_{22}c_{22}\\ a_{21}b_{11}c_{11}+a_{22}b_{21}c_{11}+a_{21}b_{12}c_{21}+a_{22}b_{22}c_{21} & a_{21}b_{11}c_{12}+a_{22}b_{21}c_{12}+a_{21}b_{12}c_{22}+a_{22}b_{22}c_{22} \end{pmatrix}, \end{align*} y el mismo resultado se obtiene al hacer \begin{align*} A(BC)&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21}&b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22}\\ b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21}&b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \end{pmatrix}. \end{align*}
• Elemento neutro. Consideremos la matriz identidad \[ I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \] Entonces, \begin{align*} AI&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}\cdot 1 + a_{12}\cdot 0 & a_{11}\cdot 0 + a_{12}\cdot 1\\ a_{21}\cdot 1 + a_{22}\cdot 0 & a_{21}\cdot 0 + a_{22}\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=A, \end{align*} y análogamente se comprueba que $IA=A$. Por tanto, $I$ es el elemento neutro del producto.
• Distributiva respecto de la suma. Tenemos \begin{align*} A(B+C)&=A\begin{pmatrix} b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12}\\ b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}(b_{11}+c_{11})+a_{12}(b_{21}+c_{21}) & a_{11}(b_{12}+c_{12})+a_{12}(b_{22}+c_{22})\\ a_{21}(b_{11}+c_{11})+a_{22}(b_{21}+c_{21}) & a_{21}(b_{12}+c_{12})+a_{22}(b_{22}+c_{22}) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11}c_{11}+a_{12}c_{21} & a_{11}c_{12}+a_{12}c_{22}\\ a_{21}c_{11}+a_{22}c_{21} & a_{21}c_{12}+a_{22}c_{22} \end{pmatrix}\\ &=AB+AC. \end{align*} De forma análoga se comprueba que $(B+C)A=BA+CA$, por lo que el producto es distributivo respecto de la suma.

Veamos ahora qué matrices son invertibles para responder al apartado (b), suponiendo ahora que $\mathbb{K}$ es conmutativo. Supongamos que \[ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in M. \] es invertible, es decir, que existe \[ B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix} \] tal que $AB=I$. Entonces \begin{align*} AB&=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \end{align*} Por tanto, se verifica el sistema \[ \begin{cases} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=1,\\ a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=0,\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0,\\ a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=1. \end{cases} \] Multiplicando la primera ecuación por $a_{22}$ y la tercera por $a_{12}$, y restando, obtenemos \[ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})b_{11}=a_{22}. \] Análogamente, multiplicando la primera por $a_{21}$ y la tercera por $a_{11}$, se obtiene \[ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})b_{21}=-a_{21}. \] Si ocurriera que $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$, entonces $a_{21}=a_{22}=0$ y la cuarta ecuación nos diría que $0=1$ (contradicción).

Recíprocamente, si $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$, consideramos \[ A^{-1}=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}. \] Entonces, \begin{align*} A A^{-1} &=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11} \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & -a_{11}a_{12}+a_{12}a_{11}\\ a_{21}a_{22}-a_{22}a_{21} & -a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \end{align*} Análogamente se comprueba que $A^{-1}A=I$. Hemos concluido así la demostración de que $A$ es invertible si y solo si $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$.

Para responder finalmente al apartado (c), consideremos ahora el subconjunto \[ \mathcal G=\{A\in M: A \text{ es invertible}\}. \] y veamos que es un grupo multiplicativo, para lo que tendremos que comprobar cuatro propiedades.

• Cerrado. Dadas $A,B\in \mathcal G$, existen sus inversas $A^{-1}$ y $B^{-1}$, luego \[ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I, \] y análogamente $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$. Por tanto, $AB\in\mathcal G$ es invertible y $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
• Asociativa. La operación es asociativa porque lo es el producto de matrices en $M$ como hemos visto anteriormente.
• Elemento neutro. La matriz identidad $I$ es invertible ya que se comprueba fácilmente que $I^{-1}=I$; como es elemento neutro del producto en $M$, también lo será en $\mathcal G$.
• Elemento inverso. Si $A\in\mathcal G$, por definición existe $A^{-1}\in M$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Por tanto, $A^{-1}\in \mathcal G$ con $(A^{-1})^{-1}=A$.