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Problema 1554
Un punto se mueve sobre los lados el triángulo $ABC$, cuyos vértices tienen coordenadas $A=(-1.8,0)$, $B=(3.2,0)$ y $C=(0,2.4)$. Determinar las posiciones de dicho punto en las que la suma de sus distancias a los tres vértices es máxima o mínima.
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Pista. Calcula los lados del triángulo y te llevarás una sorpresa.
Solución. Las longitudes de los lados son $a=BC=4$, $b=AC=3$ y $c=AB=5$, luego se trata de un triángulo rectángulo de hipotenusa $c$. Dado un punto $P$ sobre uno de los lados del triángulo tenemos tres casos:
- Si $P$ está en $AB$ (la hipotenusa), se tiene que $AP+BP+CP=5+CP$, luego el máximo y el mínimo corresponden a la distancia máxima y mínima $CP$. Claramente el máximo se produce si $P=B$ (con $CP=4$) y el mínimo cuando $AP$ es la altura del triángulo (con $CP=\frac{12}{5}$). En resumen, si $P$ está en $AB$, la suma de distancias oscila entre $\frac{37}{5}$ y $9$.
- Si $P$ está en $BC$ (un cateto), $AP+BP+CP=4+AP$. El máximo de $AP$ se produce cuando $P=B$ y el mínimo cuando $P=C$ (porque $C$ es el pie de la altura desde $A$), luego la suma oscila entre $7$ y $9$.
- Si $P$ está en $CA$ (el otro cateto), por el mismo razonamiento, la suma $AP+BP+CP$ oscilará entre $7$ y $8$.
Uniendo los tres casos, obtenemos que el valor mínimo que nos piden es $7$ (se alcanza únicamente cuando $P=C$) y el valor máximo es $9$ (se alcanza únicamente cuando $P=B$).
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