Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Los lados del triángulo son $a=r+r'$, $b=r'+r''$ y $c=r''+r$, luego el radio de su circunferencia inscrita $\rho$ puede calcularse mediante la fórmula $S=\rho p$, siendo $S$ el área del triángulo y $p=\frac{1}{2}(a+b+c)=r+r'+r''$ su semiperímetro. Usando la fórmula de Herón, tenemos que \[\rho=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\frac{r\cdot r'\cdot r''}{r+r'+r''}}.\]