Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1560
Demostrar que, para todo entero positivo $n$, el número
\[A_n=5^n+2\cdot 3^{n-1}+1\]
es un múltiplo de $8$.
pistasolución 1info
Pista. Analiza cada potencia módulo $8$ o bien usa inducción sobre $n$.
Solución. Vamos a hacer inducción sobre $n$. Para $n=1$, tenemos que $A_1=8$ es múltiplo de $8$. Supuesto cierto que $A_n$ es múltiplo de $8$, tenemos que
\[A_{n+1}=5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+6\cdot 3^{n-1}+1=5 A_n-4\cdot (3^{n-1}-1)\]
también es múltiplo de $8$ (ya que $A_n$ lo es por hipótesis de inducción y $4\cdot (3^{n-1}-1)$ lo es porque $3^{n-1}-1$ es par).
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