Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sabemos que $\mathbb{R}^3=\{(x_1,x_2,x_3):x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$ es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto por escalares: \begin{align*} (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\\ \lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3). \end{align*} Consideremos el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$: \[L=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=0\}.\]

1. Demostrar que $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
2. En $\mathbb{R}^3$ se define la relación binaria $x\sim y$ si y sólo si $x-y\in L$. Demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
3. Hallar dos vectores de $\mathbb{R}^3$ que pertenezcan a la misma clase de equivalencia respecto de $\sim$ que el vector $(-1,3,2)$.