Olimpiadas de Matemáticas
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- Demostrar que $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- En $\mathbb{R}^3$ se define la relación binaria $x\sim y$ si y sólo si $x-y\in L$. Demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
- Hallar dos vectores de $\mathbb{R}^3$ que pertenezcan a la misma clase de equivalencia respecto de $\sim$ que el vector $(-1,3,2)$.
- Sean $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in L$. Entonces
\[
x_1+x_2+x_3=0,\qquad y_1+y_2+y_3=0.
\]
Por tanto,
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)
&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),
\end{align*}
y se tiene
\[
(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)
=(x_1+x_2+x_3)+(y_1+y_2+y_3)=0,
\]
luego $(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\in L$.
Por otro lado, sea $\lambda\in\mathbb{R}$ y $(x_1,x_2,x_3)\in L$. Entonces \begin{align*} \lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3), \end{align*} y \[ \lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3=\lambda(x_1+x_2+x_3)=\lambda\cdot 0=0, \] por lo que $(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)\in L$.
Con todo ello, $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- Comprobamos las propiedades de relación de equivalencia.
Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{R}^3$, \[ x-x=(0,0,0)\in L, \] luego $x\sim x$.
Simétrica. Si $x\sim y$, entonces $x-y\in L$. Como $L$ es subespacio, también \[ y-x=-(x-y)\in L, \] luego $y\sim x$.
Transitiva. Si $x\sim y$ y $y\sim z$, entonces \[ x-y\in L,\qquad y-z\in L. \] Como $L$ es subespacio, se tiene \[ (x-y)+(y-z)=x-z\in L, \] luego $x\sim z$.
- Buscamos vectores de $\mathbb{R}^3$ en la misma clase de equivalencia que $(-1,3,2)$.
Un vector $(x_1,x_2,x_3)$ es equivalente a $(-1,3,2)$ si y sólo si \[ (x_1,x_2,x_3)-(-1,3,2)=(x_1+1,x_2-3,x_3-2)\in L, \] es decir, \[ (x_1+1)+(x_2-3)+(x_3-2)=0. \] Esto equivale a \[ x_1+x_2+x_3=4. \]
Por tanto, cualquier vector cuyas coordenadas sumen $4$ pertenece a la misma clase. Por ejemplo, $(4,0,0)$ y $(1,1,2)$.
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