Olimpiadas de Matemáticas
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Se considera en el plano complejo la sucesión $\{a_n\}$ definida por \[a_0=1,\qquad a_n=a_{n-1}+\tfrac{1}{n}\bigl(\cos(45^\circ)+i\,\mathrm{sen}( 45^\circ)\bigr)^n.\] Probar que la sucesión de las partes reales de los términos de $\{a_n\}$ es convergente y que su límite es un número real comprendido entre $0.85$ y $1.15$.