Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos la función $f(x)=x^k$ en el intervalo $[0,1]$, el cual dividimos \[[0,1]=[0,\tfrac{1}{n}]\cup[\tfrac{1}{n},\tfrac{2}{n}]\cup\ldots\cup[\tfrac{n-1}{n},1].\] Entonces, se cumple que \[\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n^k}+\frac{2^k}{n^k}+\ldots+\frac{n^k}{n^k}\right)=\frac{1}{n}f\left(\tfrac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\tfrac{2}{n}\right)+\ldots+\frac{1}{n}f\left(\tfrac{n}{n}\right).\] Cada uno de los sumandos anteriores es el área de un rectángulo de base $[\tfrac{m-1}{n},\tfrac{m}{n}]$ y altura $f(\tfrac{m}{n})$. Como $f(x)$ es creciente, se trata de la suma superior asociada a esta partición del intervalo $[0,1]$. En el proceso de construcción de la integral de Riemann se sabe que el límite de cualquier suma de Riemann (en particular, de la suma superior) de una función continua converge a la integral de la función en el intervalo. Por lo tanto, se cumple que \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n^k}+\frac{2^k}{n^k}+\ldots+\frac{n^k}{n^k}\right)=\int_0^1x^k\,\mathrm{d}x=\frac{1}{k+1}.\]