Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En primer lugar, observamos que la función está bien definida salvo en los casos en que la base sea negativa o cero, es decir, su dominio es $\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}-[-1,0]$ y es continua en todo su dominio por tratarse de una función elemental. Veamos algunas propiedades:

• Por tratarse de una función exponencial, $f(x)=e^{x\log(1+\frac{1}{x})}$ siempre es positiva.
• Los límites en $\pm\infty$ los obtenemos por definición del número $e$: \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)e.\] El límite en $x=0$ por la derecha nos da una indeterminación $\infty^0$, que podemos resolver como $e$ elevado al siguiente límite \[\lim_{x\to 0^+}\left(x\log(1+\frac{1}{x})\right)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\stackrel{\mathrm{LH}}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{\frac{-1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^2}}=0,\] que hemos resuelto por la regla de L'Hôpital. Por lo tanto, $\lim_{x\to 0^+}f(x)=e^0=1$. El límite cuando $x$ tiende a $-1$ por la izquierda nos da $+\infty$ sin indeterminación.
• La derivada de $f(x)$ viene dada por \[f'(x)=\frac{\left(\frac{1}{x}+1\right)^x \left((x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right)-1\right)}{x+1}\] cuyo signo es el signo de $\log(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1}$. Para estudiar este signo, hacemos el cambio de variable $t=1+\frac{1}{x}$, donde ahora el dominio de $t$ son los reales positivos, lo que nos da la función $g(t)=\log(t)+\frac{1}{t}+1$. Se tiene que $g'(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}$ y de aquí que $g(t)$ tiene un mínimo absoluto en $t=1$ (decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\infty)$. Por lo tanto, $g(t)\geq g(1)=0$. Deducimos que $g(t)$ (y, por tanto, $f(x)$) es creciente en su dominio.

Con esta información y, si queremos, dando algunos valores enteros a $x$ para obtener mayor precisión, no es difícil dar un boceto de la gráfica de la función.