Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Designaremos por $Z_{(5)}$ un cierto subconjunto del conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales. Un racional pertenece a $Z_{(5)}$ si y solo si se puede escribir como una fracción en la que el denominador no sea múltiplo de $5$. Por ejemplo, $13/10$ no pertenece a $Z_{(5)}$, ya que los denominadores de todas las fracciones iguales a $13/10$ son múltiplos de $5$; en cambio, $75/10$ pertenece a $Z_{(5)}$ ya que $75/10=15/12$.

1. ¿Qué estructura algebraica (semigrupo, grupo, etc.) tiene $Z_{(5)}$ respecto de la suma?
2. ¿Y respecto del producto?
3. ¿Es $Z_{(5)}$ un subanillo de $\mathbb{Q}$?
4. ¿Es $Z_{(5)}$ un $Z_{(5)}$-espacio vectorial?