Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Trazamos la circunferencia $\Gamma$ de centro $B$ que es tangente a $r$, la semicircunferencia de $\Gamma$ más distante de $r$ (marcada en azul en la figura superior) y la región entre dicha circunferencia y $r$ (marcada en rosa en la figura superior). También consideramos las semirrectas paralelas a $r$ que se proyectan fuera de $\Gamma$ (marcadas en verde en la figura superior). Distinguimos dos casos:

• Supongamos que $A$ no está en la región marcada en rosa. Entonces trazamos una recta tangente $s$ a $\Gamma$ que pase por $A$ y corte a $\Gamma$ en la semicircunferencia azul.
  • Si $A$ no está en ninguna de las dos semirrectas paralelas a $r$ marcadas en verde, entonces podemos tomar $s$ que no sea paralela a $r$ y definimos $M$ como el punto de corte de $s$ y $r$. Entonces, $BM$ es la bisectriz del ángulo (menor de $90^\circ$) que forman $r$ y $AM$, luego se cumple la propiedad que queremos.
  • Si $A$ está en una de las semirrectas marcadas en verde, entonces tomamos la circunferencia $\Gamma'$ simétrica de $\Gamma$ respecto de $r$ y $s$ una tangente a $\Gamma'$ en un punto de la semicircunferencia simétrica del original. Definimos de nuevo $M$ como el punto de corte de $s$ y $r$. Como $MB'$ es la bisectriz del ángulo menor de $90^\circ$ que forman $r$ y $s'$, se tiene que el ángulo que forman $MB$ y $r$ es igual al que forman $MB'$ y $r'$ y por tanto también se cumple la propiedad.
• Supongamos ahora que $A$ está en la región marcada de rojo. Entonces, las tangentes a $\Gamma$ o $\Gamma'$ son las únicas candidatas a cumplir la propiedad que deseamos y todas ellas la cumplen pero solo si consideramos el ángulo mayor que forman con $r$, no el menor como se especifica en el enunciado. Concluimos que en este caso el problema no tiene solución.